Johdanto

Logiikka-sanaa on ensimmäisenä käyttänyt Abelard keskiajalla Dialectica – teoksessaan. Antiikin Kreikassa varsinkin stoalaiset käyttivät logiikasta nimeä dialektiikka. Aristoteleen logiikkaa käsittelevät kirjoitukset ilmestyivät nimellä Organon ensimmäisellä vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua. Keskiajalla skolastikot ottivat käyttöön ”logica” –nimen, mutta dialektiikka-nimeä käytettiin vielä renessanssin aikana. Von Wrightin mukaan logiikka-nimi täsmentyi nykyisen kaltaiselle logiikalle vasta 1900-luvun alussa. (Von Wright 1992, 28-30).

Logiikan kantasana on kreikan kielen logos –sana, joka tarkoittaa Britannica Concise Encyclopedian mukaan ”sanaa”, ”järkeä”, ”suunnitelmaa”. Edelleen sanakirjan mukaan kreikkalaisessa filosofiassa ja teologiassa logos tarkoittaa jumalallista järkeä, joka järjestää kosmosta ja antaa sille muodon ja tarkoituksen (merkityksen). Käsite löytyy kreikkalaisista, persialaisista, intialaisista ja egyptiläisistä filosofisista ja teologisista järjestelmistä. Se on erityisen merkittävä kristillisessä teologiassa, jossa sitä käytetään kuvaamaan Jeesuksen roolia Jumalan aktiivisuuden periaatteena luomisessa ja kosmoksen järjestämisessä ja pelastuksen jumalallisen suunnitelman avaamisessa. (Britannica Concise Encyclopedia, luettu 24.10.2017).

Tämä ilmaistaan selvimmin Johanneksen evankeliumissa, joka yksilöi Kristuksen, kun Sana tuli lihaksi  ”Alussa oli sana, ja se Sana oli Jumalan tykönä, ja Jumala oli se Sana. Tämä oli alussa Jumalan tykönä. Kaikki ovat sen kautta tehdyt, ja ilman sitä ei ole mitään tehty, joka tehty on.” (Joh. 1:1-3). ”Ja Sana tuli lihaksi ja asui meidän seassamme, (ja me näimme hänen kunniansa niin kuin ainoan Pojan kunnian Isästä,) täynnä armoa ja totuutta ”(Joh. 1:14). Monissa muissakin kohdissa Raamatussa korostetaan Sanan eli logoksen merkitystä, esim. ”Taivas ja maa pitää hukkuman, mutta minun sanani ei pidä suinkaan hukkaantuman” (Matt. 24:35), sekä (Hebr. 4:12 ja Ps. 119:105). (Puolitaival 2009,viitataan myös Britannica Concise Encyclopediassa).

Toivo Salosen ”Filosofian sanat ja konseptit” määrittelee logos-sanalle seuraavat merkitykset: järki (lat. ratio), maailmanjärki, luonnonlaki, maailmantuli, alkutuli, persoonaton Jumala, kohtalo, kaikkeus, tuli, oppi, yleistetty tieto, sana (lat. verbum), puhe (lat. oratorio), ajatus, ymmärrys, kieli, käsite, mitta, suhde, logiikka. Samassa kirjassa logiikan määritelmänä on: Logiikka on ajattelun lakien, tiedon yleisen muodon, muodollisesti pätevän päättelyn ja todistamisen sääntöjen tutkimusta. Logiikka on oppi johdonmukaisista päättelymuodoista. (Salonen 2008, 156-157).

Herakleitoksen kirjoituksissa logos-sana esiintyy usein. Herakleitoksen jumaluus on logos, ikuinen maailmanjärki. Tämä jumaluus ei ollut persoonallinen olio. Se ilmenee kaikkeuden jumalallisena perusvoimana. Toisaalta Herakleitokselle logos ja tuli ilmaisevat saman asian, järkevyyden. ”Tuli on järkevä”. Tulellakin on oma tulen logiikkansa, kertoo Juhani Sarsila Herakleitoksen miettineen. ”Sielun rajoja et sinä matkaltasi löydä, sillä niin syvällä piilee sen logos.” Sarsila toteaa, että sielu sisällyttää itseensä kaiken, mutta ei näe mahdollisuuksiensa rajoja. Sarsilan artikkelista Salosen juhlakirjassa löytyy lisää logos-sanan merkityksestä Herakleitokselle. (Sarsila 2009, 57, 59).

Jaakko Hintikka käsittelee Aristoteleen Kategorioissa tavattavaa logos-sanaa. Esimerkiksi lainauksessa ”niin kuin on laita lauseiden, niin on laita myös mielipiteiden”, lause-sana on kreikan kielisessä tekstissä logos, joka ensi sijassa tarkoittaa Hintikan mukaan puhuttua sanaa. Hintikka mainitsee tässä yhteydessä, että Aristoteles on johtanut ajattelua koskevia käsitteitä puhuttua sanaa koskevista käsitteistä, mikä lienee myös osoitus siitä, että Aristoteleellä puhuttu sana oli ensisijaista kirjoitettuun sanaan nähden. (Hintikka 1962, 59).

Logos-sanan merkitykset viittaavat sekä jumalalliseen että maalliseen järkeen, rationaalisuuteen. Toisaalta logos merkitsee myös ihmisen mielen tai tietoisuuden sisältöjä ja toimintoja, kuten ajattelua, puhetta, sanaa, ymmärrystä. Lisäksi myös yleiset merkitykset tieto, oppi, mitta, suhde, käsite. Logiikka on varmasti kaikkea sitä, mitä sen yleisissä määritelmissä mainitaan (vrt. ed. kpl:t). Vaikka logiikan formaalisuus, muodollisuus ilmentää mielestäni logos-sanan yleisiä merkityksiä ajattelusta, puheesta, päättelystä, tiedosta, kuitenkin tuntuu siltä kuin sanat järki, järkevyys, johdonmukaisuus ja mieli kuvaisivat luonnollisessa kielessä logiikka-sanaa parhaiten. Onko tuossa mitään logiikkaa? Eihän tuo ole yhtään loogista! Olisiko sitten looginen ajattelu tai toiminta järkevää, johdonmukaista ja Jumalan mielen mukaista toimintaa? Ei välttämättä kuitenkaan aina Jumalan mielen mukaista, mutta järkevää ja johdonmukaista kumminkin. Toisaalta logos-sanan merkitykset sopivat myös semantiikkaan ja kielifilosofiaan, jotka nykyisin ovat erityisesti logiikan painopistealueita.

Von Wrightin mielestä logiikka tutkii kielessä tapahtuvan ajattelun artikulaatiota. Logiikka tekee työtään kielen kanssa, kieli on sen raaka-ainetta. Hänen mielestään monimielinen kreikan kielen sana logos merkitsee sekä puhetta että järjen käyttöä. Von Wright on sitä mieltä, että silloin kun logiikka on kukoistanut, on aina ollut kyse kielestä. Esimerkiksi antiikin aikaan sofistit ihastuivat kielen keksimiseen logoksena, ts. argumentoinnin, suostuttelun ja todistamisen välineenä. (von Wright 1992, 33-34).

Käsittelen kirjoitelmassani logiikan luonnetta, filosofiaa ja mitä logiikka on.

Loogisesta analyysistä

Wienin piiriin kuuluva Rudolf Carnap mietti filosofisten ongelmien luonnetta artikkelissaan On the Character of Philosphic Problems, vuonna 1934 ilmestyneessä kirjassa Philosophy of Science. Carnapin mielestä filosofia on tieteenteoriaa ja tutkii tiedettä vain logiikan kannalta. Tieteen logiikalla Carnap tarkoittaa loogista analyysiä tieteen käsitteistä, propositioista, todistuksista ja teorioista. Lisäksi tieteen logiikka on analyysiä yhteisistä menetelmistä, joita tieteessä käytetään edellisten muotoilemiseksi. Carnap hylkää transsendentaalisen metafysiikan tyhjinä sanajonoina. Tieteen logiikan loogisella analyysillä Carnap haluaa selvittää myös filosofisten ongelmien luonnetta. (Carnap 1993,180).

Panu Raatikaisen mukaan Wienin piirin filosofiakäsitys nojasi kieleen. He pyrkivät osoittamaan, että perinteiset filosofiset ongelmat syntyivät kielen väärinkäytöstä eikä metafyysisillä väitteillä ole tosiasiassa merkityssisältöä. (Raatikainen 2008, 9).

Yleensä tieteen logiikassa analysoidaan käsitteiden ja propositioiden merkityksiä. Mutta Carnap haluaa nostaa formaalisuuden keskiöön. Kysymys filosofiasta tieteen logiikkana tarkoittaa siis tieteen kielen formaalisen rakenteen teoriaa. ”Kielen loogisella syntaksilla me ymmärrämme tämän kielen formaalisten (siis merkitykseen viittaamattomien) sääntöjen järjestelmää sekä näiden sääntöjen seurauksia.” Tähän järjestelmään kuuluvat kielen muodostussäännöt (miten kielen symboleista voidaan muotoilla propositioita) ja muunnossäännöt, joiden mukaan annetuista propositioista voidaan johtaa uusia propositioita. Tieteen logiikassa keskitytään kielen tarkastelemiseen kalkyylina. Sanojen ja propositioiden merkitystä ei tällöin käsitellä lainkaan. (Carnap 1993, 182 – 185).

Mielenkiintoisella tavalla Carnap esittelee, miten proposition sisältö voidaan ilmaista joko sisällöllisen (normaalin) puhetavan tai formaalisen puhetavan mukaan. Esimerkiksi sisällöllisen puhetavan mukaan: ”Todellisuus koostuu tosiseikoista, ei olioista.” Sama lause formaalisen puhetavan mukaan: ”Tiede on propositioiden järjestelmä, ei nimien järjestelmä.” Taikka ”latinan kielessä sana ”luna” viittaa kuuhun” sisällöllisellä puhetavalla ja ”latinan kielen ja englannin kielen syntaktisten käännössääntöjen perusteella sana ”moon” vastaa sanaa ”luna” formaalisella puhetavalla”. ”Heti kun jokin filosofian kysymys muotoillaan täsmällisesti tieteen logiikkaa koskevaksi kysymykseksi, havaitaan, että on kysymys tieteen kielen loogisesta analyysista; ja tarkempi tutkimus paljastaa sitten, että jokainen tällainen kysymys on muotoiltavissa formaaliseksi kysymykseksi, so. kysymykseksi tieteen kielen loogisesta syntaksista”. (Carnap 1993, 186). Filosofian ”kieli” saa siis Carnapin mukaan riittävän täsmällisen muodon vain silloin, kun filosofian teoreemat muotoillaan väitteiksi tai ehdotuksiksi tieteen kielen syntaksista. (Carnap 1993, 180 – 187).

Carnapin artikkelin löytäminen selvitti minulle hieman loogisen positivismin/empirismin loogisen analyysin menetelmää. Mielestäni tämä kielen formaalisen rakenteen teoria kuvaa samalla hyvin logiikan luonnetta tai olemusta. Onhan logiikassakin kyse formaalista kielestä. Formaalin kielen etuna on Pajusen mukaan sen täsmällisyys, yksiselitteisyys ja tehokkuus verrattuna luonnolliseen kieleen, esim. suomen tai ruotsin kieleen. Formaaleja keinotekoisia kieliä ovat esimerkiksi matematiikan, logiikan ja ohjelmoinnin kielet. (Pajunen 2006, 1).

Von Wrightin mukaan logiikan formaalinen luonne johtuu siitä, että kun logiikka tutkii järkemme toimintojen rakenteellisia aspekteja, joita kutsumme argumentiksi, päättelyksi tai todistamiseksi, se asettaa sääntöjä, joilla premisseistä johtopäätöksiin siirtymisen oikeellisuutta arvioidaan. Tällöin ei siis aseteta sääntöjä itse premissien ja johtopäätösten totuuden arvioimiseksi. Von Wrightin mielestä formaalisen logiikan tutkimuksen sisältönä ovat käsitteet, niiden sisäinen johdonmukaisuus tai sen puuttuminen. Tätä sanotaan käsiteanalyysiksi. Päättelemisen ja käsitteiden välisten merkityssuhteiden tutkimus muodostavat logiikan kaksi päätutkimusuraa. ”Formaalisen logiikan” ja ”käsiteanalyysin” läheisen yhteenliittymisen vuoksi logiikka ja sen tutkimus ovat kukoistaneet 20. vuosisadan filosofiassa. (Von Wright 1992, 27-31).

Gottlob Frege pyrki jo 1800-luvulla kehittelemään Leibnizin tavoin täsmällisen tieteellisen kielen, joka olisi universaali ilmaisuväline eli kieli, joka puhuisi maailmasta, kaikesta mitä on. Tämä loogisesti täydellinen ihannekieli heijastaisi paljastamaansa maailman todellista rakennetta. Frege oli tyytymätön luonnolliseen kieleen sen monimielisyyksien ja hämäryyksien vuoksi. Sandun mukaan myös ”varhaisella” Carnapilla, Russellilla ja Wittgensteinilla oli universalistinen käsitys logiikasta ja kielestä. Tämän käsityksen mukaan mitään ei voida sanoa formaalin järjestelmän itsensä ulkopuolella. Ei siis ole olemassa metatasoa, jossa voitaisiin käsitellä metajärjestelmällisiä kysymyksiä, kuten ristiriidattomuutta, aksioomien riippumattomuutta ja täydellisyyttä. Yllä esittämässäni lienee ollut juuri kyse siitä, että Carnap halusi sovittaa yhteen universalistisen yhden maailman ja yhden kielen näkökulman sekä Hilbertin koulukunnan metalingvistiset näkemykset. Sandu toteaa, että universalistisen käsityksen mukaan ei ole olemassa myöskään metakieltä kielen semantiikan käsittelyyn. Myöhemmin Carnap ja Tarski tekivät erottelun objektikieleen eli tutkimuksen kohteeseen ja metakieleen, jossa tutkimus suoritetaan. Carnap alkoi vuodesta 1932 lähtien hylätä teoriaansa universaalikielestä. Carnap suuntautui sitten loogiseen semantiikkaan julkaisten vuonna 1947 yhden keskeisen kielen semantiikkaa käsittelevän teoksen Meaning and Necessity, jota mm. Jaakko Hintikka arvostaa suuresti. (Sandu 2009, 156-160; Hintikka 1982, 32-33; Raatikainen 2008; 10).

Logiikan historiaa

Logiikan juuret ovat jo esiantiikin ajalla, jolloin kreikkalaiset viisaat, kuten filosofit Zenon Elealainen (490 – 340 eaa.) ja Sokrates (n. 470 – 399 eaa.) käyttivät paradokseja, dialektiikkaa ja opettamista menetelminään, joilla he pyrkivät saamaan selville totuuden esittämällä esitetyille väitteille perusteluja ja johdonmukaisia selityksiä. Varsinaisena logiikan perustajana pidetään kuitenkin Aristotelestä (384 – 322 eaa.).  Tosin von Wright toteaa, että syllogistiikka ei kelpaa logiikan perustaksi. Syllogismit ovat edelleen muodollisen logiikan ydin, mutta ne tarvitsevat tuekseen propositiologiikan loogiset säännöt. Propositiologiikan systematisoinnin aloittivat stoalaiset loogikot, erityisesti Krysippos (200-luvulla eaa.) ja sitä jatkoi Frege. Hän teki myös propositiologiikasta sen perustan, jolle kaikki logiikan ylemmät kerrokset perustuvat. Ns. uuden logiikan perustajia olivat mm. englantilainen Francis Bacon (1561 – 1626) ja saksalainen Gottfried Leibniz (1646 – 1716). (Seppänen 1994, 3 – 6); von Wright 1982, 71).

Nykyaikainen eli moderni logiikka, jota nimitetään myös symboliseksi ja matemaattiseksi logiikaksi, syntyi 1800 – luvun lopulla ja 1900-luvun alussa. Tällöin tavoitteena oli asettaa logiikka täsmälliselle ja formaalille matemaattiselle pohjalle. Modernin ja matemaattisen logiikan tavoitteena on ollut mm. logiikan kehittäminen kaiken kattavaksi symboli- ja sääntöjärjestelmäksi, jolloin logiikka olisi matematiikan metateoriaa. Nykyaikaan liittyy viimeinen logiikan historian päävaihe: nykyajan jälkeinen eli postmoderni logiikka, mikä on syntynyt lähinnä tietokoneiden ja käytännön tarpeiden perusteella. Varsinkin Aristoteles ja Leibniz sekä brittiloogikko Alan Turing ovat luoneet perustaa jo nykyajan tietoteknisille ratkaisuille, mikä tuntuu uskomattomalta luovuuden ja nerouden osoitukselta (Seppänen 1994, 3-6).

Von Wright katsoo, että uusi logiikka sijoittuu tieteiden järjestelmässä matematiikan ja filosofian rajamaille. Ovathan uuden logiikan historialliset lähtökohdat matematiikan piirissä. Sen filosofinen merkitys on tunnistettu vasta vähitellen. Uuden logiikan keskeisiä nimiä olivat 1800 –luvulla Gottlob Frege (1848 –1925), jenalainen matematiikan professori, joka kuuluu idealismin vastustajiin. Muita suuria loogikoita olivat viime vuosisadalla mm. Bertrand Russell (1872 – 1970) ja Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951). Näiltä herroilta ns. Wienin koulu sai von Wrightin mukaan uskonsa modernin logiikan merkitykseen filosofisen ajattelun välineenä. Wienin piirin filosofiaa alettiin kutsua loogiseksi uuspositivismiksi tai loogiseksi empirismiksi; modernin logiikan tulokset haluttiin yhdistää empiristiseen näkemykseen, jonka mukaan kaikki inhimillinen tieto perustuu viime kädessä kokemukseen. Von Wright toteaa myös, että filosofia on tieteen logiikkaa: tieteen kielen loogista syntaxia, kuten 30-luvulla sanottiin, tai tieteen kielen semiotiikkaa, kuten suunnan kannattajat nykyisin sanovat. (von Wright 1982, 20 – 21; Niiniluoto & Koskinen 2002, takakansi).

Aristoteleen logiikasta

Aristoteles loi ensimmäisen muodollisen (formaalin) logiikan eli päättelymenetelmän, jota hän nimitti yhdistelylogiikaksi l. syllogiikaksi. Aristoteleen syllogiikan perustana on syllogismi eli sanan- tai lauseiden rinnastus, joka koostuu kahdesta lauseesta (premissistä) ja päätelmästä eli loogisesti seuraavasta johtopäätöksestä. Syllogismin kaikki lauseet ovat kategorisia väitteitä. Aristoteleen logiikan eli klassisen logiikan voittokulku jatkui hellenistiseltä ja keskiajalta uudelle ajalle saakka, (Seppänen 1994, 3-6).

Aristoteles pyrki kehittämään sokraattista kyselyä yleiseksi filosofiseksi menetelmäksi eli dialektiikaksi, jonka tarkoituksena on totuuden saavuttaminen. Dialektisessa toiminnassa tavoitteena on saada vastapuoli hyväksymään omat argumentit. Kehittämistyössään Aristoteleelle syntyi dialektiikkaa tutkiessaan uusi systemaattinen näkemys yleisen dialektisen metodin perustasta. Knuuttila toteaa, että tätä näkemystä voi sanoa myös ideaksi formaalisesta logiikasta. Uusi systemaattinen idea tarkoitti sitä, että sellaiset argumentit, joiden avulla vastapuoli on hyväksynyt jotakin ja on pakotettu hyväksymään jotakin muuta, voidaan jakaa erilaisiin päätelmätyyppeihin tai –muotoihin kiinnittämättä huomiota niiden sisältöön. Tällä tavoin syntyi teoria syllogistiikasta. (Knuuttila 1994, 253).

Knuuttilan mukaan aristoteelinen formaalinen logiikka ei perustu loogisen tai formaalisen totuuden käsitteelle. Aristoteleen logiikan perustana on syllogismi, jonka johtopäätöksen relatiivinen välttämättömyys suhteessa premisseihin pakottaa premissit hyväksyneen hyväksymään johtopäätöksen. Ensimmäinen analytiikka –kirjassaan Aristoteles esittelee erilaiset syllogismit. Jo kirjan ensimmäisissä lauseissa hän toteaa: ”Aluksi on todettava, mikä on tutkimuksemme aihepiiri ja mitä se koskee – eli että se on todistaminen ja että se koskee todistavaa tiedettä. Sitten on määriteltävä, mikä on premissi, mikä on termi ja mikä on syllogismi, millainen syllogismi on täydellinen ja millainen epätäydellinen, ja tämän jälkeen se, mitä jonkin on olla tai olla olematta jossakin osana kokonaisuutta ja mitä tarkoitamme sanoessamme, että jokin predikoidaan kaikista tai ei mistään.” (Knuuttila 1994, 59, 253).

Yli kaksituhatta vuotta sitten Aristoteles loi mm. aksiomaattisen tieteenihanteen. Tämä tieteenihanne on von Wrightin mukaan uudelleen elpymässä. Aksiomaattisen tieteenihanteen yhteydessä von Wright selostaa induktion ja deduktion käsitteet. Sitä ajatustoimitusta, joka johtaa yksityisestä tapauksesta yleiseen totuuteen, kutsutaan induktioksi. Induktio voi perustua yksityisiin havaintoihin (observaatioihin) tai käsitteiden ”olemuksia” koskeviin, määritelmän luonteisiin pohdintoihin. Aksiomeja ei voi johtaa eli todistaa muusta tiedosta. Aksiomien on oltava välttämättömiä ja yleisiä totuuksia. Tässä tuleekin vastaan Aristoteleen tieteen ajattomuus. Välttämättömiä totuuksia eli aksiomien voidaan kuvata ajattomasti  päteväksi totuudeksi ja sitä koskevaa tietoa tiedoksi jostakin muuttumattomasta ja häviämättömästä. Aksiomia ei myöskään voida loogisesti todistaa. Aristoteleen mukaan tieto yleisestä perustuu tietoon yksityisestä, mikä saavutetaan yksityisten aistihavaintojen kautta. Toinen ryhmä tieteen totuuksia ovat teoreemat, jotka voidaan johtaa tieteen lähtökohtana olevista totuuksista eli aksiomeista. Tätä johtamista kutsutaan deduktioksi. Loogisen seurauksen käsite voidaan Niiniluodon mukaan määritellä kahdella toisiinsa yhtyvällä tavalla: syntaktisesti (todistusteoreettisesti) tai semanttisesti. Bolzanon ja Tarskin mukaan deduktiivinen päättely on välttämättä totuuden säilyttävää päättelyä, koska tosista premisseistä seuraa loogisesti tosi johtopäätös. Tästä syystä deduktiivista päättelyä voidaan käyttää hyväksi todistuksissa, koska premissien totuus takaa myös johtopäätöksen totuuden. ”Deduktion looginen sitovuus tulkitaan tavallisesti niin, että johtopäätös jo kätketysti ”sisältyy” oletuksiin. Johtopäätös ei laajenna tai lisää oletusten sisältöä. Hintikan mukaan kuitenkin ”pintainformaatio” lisääntyy.” (Von Wright 1982, 31 – 35; Niiniluoto 1983, 21; Niiniluoto 2009, 69).

Syllogismeja ja muita deduktiivisen päättelyn muotoja voitaisiin von Wrightin mukaan kutsua tieteellisen ”ajattelun” pelisäännöiksi. Logiikan säännöt ilmoittavat, mitä oikeita johtopäätöksiä voidaan tehdä jonkin tieteen piirissä saavutettujen totuuksien perusteella, jättäen silti loogisen päättelyn tosiasialliset lähtökohdat tiedemiesten (ja –naisten) havaintokyvyn ja kekseliäisyyden varaan. Aristoteles näyttää ajatelleen, että ”tieteen” perustotuudet on saatu käsiteanalyysin kautta, siis rationaalista eikä empiiristä tietä. Rationalistit kuten Descartes ja Leibniz väittävät, että tieteen ensimmäiset premissit ovat tiedettävissä tosiksi a priori, aistikokemuksesta riippumatta. (Von Wright 1971, 11; Von Wright 1982, 31-35; Niiniluoto 1983, 119).

Aristoteelinen aksiomaattinen tieteenihanne oli Ilkka Niiniluodon mukaan samalla ensimmäinen systemaattinen yritys tieteellisen päättelyn rakenteen hahmottamiseksi. Aristoteles on itse kuvaillut esittämäänsä aksiomatisointia ”intuitiiviseksi induktioksi”. Niiniluodon mukaan Aristoteles kuvailee intuitiivista induktiota prosessina, jossa ihminen eräänlaisen abstraktion avulla löytää tai oivaltaa havaittuihin yksityistapauksiin sisältyvän yleisen. Tätä prosessia ei voi analysoida premisseiksi ja johtopäätökseksi. Induktio eli induktiivinen päättely ei ole totuuden säilyttävää eikä loogista päättelyä. (Niiniluoto 1983, 19 – 32, 118 – 119).

Toinen analytiikka –kirjassa Aristoteles esittää edellä kerrotun aksiomatisoidun tieteen idean. ”Kun kaikki jotakin todellisuuden osa-aluetta koskevat todistettavat välttämättömiä totuuksia ilmaisevat lauseet on todistettu todistamattomien mutta välttämättömien ja itsensä selittävien aksioomien pohjalta ja kaikki kyseiseen alueeseen liittyvät ”miksi” –kysymykset ovat saaneet vastauksensa, kyseinen tiede on täydellistynyt ja tarjoaa tyhjentävän, selittävän ja järjestelmällisen kuvauksen kyseisen alueen pysyvistä piirteistä.” Aristoteleen mukaan tämä on mahdollista, koska todellisuuden perusrakenne on syllogistinen. Aristoteleen syllogistiikka ei suinkaan ole ongelmaton tieteen teoria. Sihvola käy laajasti läpi siihen liittyviä ongelmia Toinen analytiikka –kirjan selitysosassa. (Sihvola 1994, 287 – 288).

Aristoteles on kuitenkin ollut ihmeellinen nero, ainakin omaa aikaansa vasten. Kun hänen saavutuksiaan tieteelle ja filosofialle ajattelee, tuntuu kuin aika menettäisi merkityksensä. Onko niin kuin Esko Mustonen kirjoittaa ”kaikki on olemassa samanaikaisesti, eilinen, tämä päivä ja huominen”? Vain hetkittäin voimme tulla tietoisiksi ajattomuuden olemuksesta, saatamme jopa nähdä huomisen. (Mustonen 1988, 235-239).

Hintikka toteaa, että kreikkalaisten filosofien ”pako ikuisuuteen” oli eräänlainen kompensaatioilmiö, jonka selityksenä ei ole heidän ajattelunsa ajattomuus, vaan pikemminkin sen liittyminen harvinaisen täydellisesti nykyhetkeen. ”Pako ikuisuuteen” tarkoitti kai kuolemattomuuden rajoitusta, jota kreikkalaiset eivät halunneet hyväksyä. Kuolemattomuuden omistivat kuitenkin kreikkalaiset jumalat. Edellä mainittu kreikkalaisen antiikin ajan kulttuurinen piirre, ”nykyhetkessä eläminen”, vaikutti Aristoteleella sekä ajankäsitykseen että totuudenkäsitykseen. Tyypillisten Aristoteleen lauseiden hetkellisyys ja ajallinen epämääräisyys saattoivat vaikuttaa siihen, että Aristoteleen mukaan todellista tietoa saattoi olla vain muuttumattomasta eli ikuisesti samana pysyvästä. Myös Platon ajatteli vastaavalla tavalla. Mielenkiintoinen on myös Aristoteleen ajatus siitä, että lause ilmaisee yhden ja saman ajatuksen eli mielipiteen (doxa). Mielipide pysyy samana, mutta tosiasioiden muuttuessa se voi muuttua todesta epätodeksi tai päinvastoin. (Hintikka 1962, 43, 60). Viimeksi mainittua voisi ajatella myös niin, että vallitsevat tosiasiat ovat tosia, jolloin myöntävä mielipidekin on totta. Mielipidettä joutuisi muuttamaan tosiasioiden mukaan.

Matematiikan ja logiikan yhteydestä

Logiikka osana filosofiaa on kehittynyt aikojen saatossa siksi, mitä se nyt on. Logiikka on todellakin paljon enemmän kuin pelkkää lauselogiikkaa ja predikaattilogiikkaa, joita opiskelin logiikka 1 –kurssilla. Näin myös matematiikka, jossa eri tutkimusaiheita on suunnattomia määriä. Aiemmin ajattelin, että matematiikka on täydellistä, mutta näin ei olekaan. Panu Raatikainen kertoo kirjoituksessaan ”Logiikka ja ajattelun rajat” brittiloogikko Alan Turingista, joka on osoittanut 1930 –luvulla haaveen täydellisestä matemaattisesta tiedosta mahdottomaksi eikä mitään yleistä mekaanista menetelmää matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi ole olemassa. Matematiikka on aksiomaattinen tiede. Matematiikassa on pyritty löytämään äärellinen joukko peruslauseita eli aksioomia, joista kaikki tämän aihealueen todet lauseet voidaan loogisesti johtaa. Tätä ihannetta ei siis ole mahdollista saavuttaa, vrt. Gödelin (1 + 2) ja Turingin epätäydellisyyslauseet (2). Kirjoituksessa oli mielestäni kaksi kiinnostavaa asiaa. Turing lähti liikkeelle 1) ihmismielen laskutoimituksista alkaessaan ratkaista matemaattisten ongelmien ratkaisumenetelmän yleistä määritelmää. Vuoden työskentelyn jälkeen hän löysi ratkaisun 2) yhdistämällä tarkkanäköisen filosofisen käsiteanalyysin vaativaan matemaattiseen työhön. Tietokoneiden ja laskukoneiden suunnittelun lähtökohtina ovat olleet ihmismieli ja matemaattista ja loogista lahjakkuutta omaavat henkilöt. Ihmismielen osalta Raatikainen osoittaa, että Gödelin tuloksista seuraa, että on olemassa matemaattisia totuuksia, joita ei voida todistaa ihmismielelle ilmeisistä aksioomista. Näin, koska ei ole järkevää uskoa, että mitkä tahansa matemaattiset periaatteet olisivat kenen tahansa ihmismielelle ilmeisiä ja ilmiselviä. Kirjoituksessa kerrotaan matematiikasta ja matematiikan tärkeistä perusperiaatteista, kuten siitä, että Kurt Gödel (itävaltalainen loogikko) osoitti, että yleisessä tapauksessa – muutamia hyvin yksinkertaisia poikkeustapauksia lukuun ottamatta – täydellisen teorian ihanne on mahdoton saavuttaa. Tämä osoittaminen tapahtui filosofisella käsiteanalyysillä yhdistettynä matematiikkaan. Kirjoituksen otsikko huomioon ottaen mietin, onko käsiteanalyysissä kyseessä vain logiikka vai peräti logiikan filosofia? (Raatikainen 2007, 45 – 55).

Mietin tässä yhteydessä myös sitä, soveltuvatko matematiikan epätäydellisyyslauseet (Gödel + Turing) myös logiikkaan. Vastauksen löysin useistakin kirjoista. Hintikka mainitsee, että vuoden 1930 tienoilla Gödel ja Tarski ovat osoittaneet, että jotkut logiikanjärjestelmät ovat täydellisiä ja jotkut epätäydellisiä (Hintikka 1971, 45). Propositiologiikan täydellisyyslause osoittaa, että luonnollisen päättelyn säännöt riittävät kaikkien loogisten seurausten päättelemiseen. Tämä havainto korostaa päättelyjen merkitystä kahdesta syystä. Totuustaulukkoanalyysi tulee käytännössä mahdottomaksi propositiosymbolien määrän kasvaessa. Lisäksi päättelyä voidaan käyttää myös laajemmissa yhteyksissä, joissa totuusarvon käsite puuttuu kokonaan tai on ongelmallinen. On kuitenkin hyödyllistä tietää, että luonnollisen päättelyn järjestelmä on riittävä ainakin silloin, kun rajoitutaan ainoastaan propositiologiikkaan. (Salminen & Väänänen 1992, 58 – 65).

Predikaattilogiikan luonnollisen päättelyn täydellisyys tarkoittaa sitä, että kaikki, mitä annetusta kaavajoukosta seuraa, voidaan siitä myös päätellä. Yhtäpitävästi jos teoriasta ei voi päätellä ristiriitaa, niin sillä on malli. Salmisen ja Väänäsen mukaan täydellisyyslause on yksi modernin logiikan kulmakiviä ja se pyritään todistamaan kaikissa logiikan eri järjestelmissä. Salminen ja Väänänen esittävät myös Gödelin täydellisyyslauseen todistuksen predikaattilogiikassa. (Salminen & Väänänen 1992, 107 – 112).

Toisen kertaluvun logiikka poikkeaa predikaattilogiikasta siten, että se sallii kvantifioinnin yli universumin osajoukkojen. Tämä hyödyllinen lisäpiirre vaikuttaa kuitenkin niin, että täydellisyyslause ei enää päde, koska luonnollisella päättelyllä ei saada enää kaikkia loogisia seurauksia. Voidaan siis sanoa, että logiikkaan kokonaisuutena katsoen ei päde Gödelin täydellisyyslause, mutta joihinkin logiikan osajärjestelmiin se pätee, kuten propositio- ja predikaattilogiikkaan. (Salminen & Väänänen 1992, 138).

Myös von Wright kertoo mielenkiintoisesti todistusteorian ongelmista. Pääongelmia ovat aksiomaattisten järjestelmien ristiriidattomuuden todistaminen, aksioomien riippumattomuus toisistaan, aksiomaattisten järjestelmien täydellisyys ja Hilbertin ratkaisuongelma. Hilbertillä lienee myös ollut ajatus matematiikan täydellisyydestä, koska hänellä oli ajatus, että on periaatteessa mahdollista ratkaista kaikki matemaattiset ongelmat. Von Wright toteaa, että propositiologiikan osalta voidaan ratkaista kaikki neljä ongelmaa, predikaattilogiikassa muut paitsi ratkaisuongelma. Aritmetiikan osalta oli jo enemmän ongelmia. Näistä ongelmista on myöhemmin onnistuttu ratkaisemaan lähes kaikki myös predikaattilogiikassa, aritmetiikassa, geometriassa ja ryhmäteoriassa. Ratkaisemattomuuden tutkiminen on osoittautunut hedelmällisimmäksi. (Von Wright 1982, 90 – 94).

Logiikassa yhdistyvät matemaattisen tuntuiset ”laskutoimitukset” ja logiikan kielen rakenteeseen ja muotoon kohdistuvat päättelysäännöt. Matematiikan ongelmien, laskujen ratkaiseminen vaatii ajattelukykyä ja matematiikan sääntöjen osaamista. Mutta sitä samaa vaatii myös lause- ja predikaattilogiikan harjoitustehtävien ratkaiseminen, vaatii siis myös päättelysääntöjen osaamista.

Logiikan kielellä sanottuna looginen ja matemaattinen ajattelu voidaan käsittää kalkyloimiseksi  eli tiettyjen merkkien käsittelemiseksi tunnettujen sääntöjen mukaisesti. Von Wright toteaa Leibniziin viitaten, että oikean ajattelun loogisia sääntöjä voidaan verrata laskemisen algebrallisiin sääntöihin. Tarkemmassa tarkastelussa ilmenee yhä selvempänä loogisen ja matemaattisen ajattelun yhtenäisyys. (Von Wright 1982, 51).

Raimo Lehti luettelee matematiikan tyypillisiä ominaisuuksia seuraavasti:

1. Matematiikka on loogista. Matematiikassa tehdään oikeita eli loogisesti päteviä johtopäätöksiä. Matemaatikoille on Lehden mielestä tyypillistä johtopäätösten loogisuus ja aukottomuus. Matemaattisen ajattelun johdonmukaisuus on lisääntynyt matematiikan historiaa tarkasteltaessa.
2. Matematiikka on formaalia, vastakohtana sisällyksellinen. Matematiikan tieteenhaarat aritmetiikka, algebra ja geometria tutkivat pitkään todellisuuden matemaattisia aspekteja, kuten lukumääriä, paljouksia ja paikallisia suhteita. Matematiikalle oli siis ominaista selvä sisällyksellisyys. Sisällyksellisyys liittyy Lehden mukaan myös matemaattiseen ja loogiseen päättelyyn, jota voisi joskus nimittää myös metamatematiikaksi. Matematiikka on kuitenkin formalisoitunut 1900 –luvulla , jolloin siihen on eniten vaikuttanut aksiomatisointi. Formaalisessa suhtautumisessa matematiikkaan operoidaan pelkästään esimerkiksi matematiikan laskulakien ja laskutoimitusten kanssa kiinnittämättä huomiota siihen, mitä laskutoimitusten kohteena olevat oliot ovat.
3. Matematiikka on abstraktia, jolloin vastakohtana on konkreettinen. Abstrahoimista on Lehden mukaan se, että kykenemme näkemään ympärillämme vallitsevissa sekavissa ja hälisevissä olosuhteissa joitain systemaattisia ja invariantteja piirteitä. Olennaisimpia matemaattisen ajattelun piirteitä on Lehden mukaan se, että matematiikka on kaiketikin kaikkein vaikuttavin esimerkki tehokkaan ja oikeaan osuneen abstraktion tavattomasta voimasta.
4. Matematiikassa käytetään runsaasti erityisiä, juuri matematiikalle tyypillisiä ja matemaattisia tarpeita varten konstruoituja symboleja. Hyvän symboliikan olemassaolo ja käyttö on välttämätön, ennen kuin muut matemaattisen ajattelun tyypilliset aspektit pääsevät tehokkaalla tavalla vaikuttamaan. Descartes on kehitellyt vieläkin käytössä olevan algebrallisen symboliikan 1637 julkaistussa kirjassaan ”Geometrie”. G.W. Leibniz on puolestaan luonut 1600-luvulla edelleenkin käytössä olevan differentiaali- ja integraalilaskennan symboliikan. Samaan aikaan Newton päätyi eri tietä samaan lopputulokseen.
5. Matematiikka on erilaisten kalkyylien käyttöä, siis erilaisten laskutoimitusten suorittamista kalkyylien puitteissa.  Kalkyylit ovat siis tietynlaisia laskumenetelmiä, jotka kuuluvat olennaisesti Lehden mukaan matemaattiseen ajatteluun. Uutta luotaessa keskitytään ensin kalkylatiivisesti käyttökelpoisten järjestelmien konstruoimiseen , ja sitten vasta ryhdytään niitä logiikkaa hyväksi käyttäen edelleen kehittämään. (Lehti 1971, 75 – 97).

Logiikka on mielestäni väline matematiikalle. Formaalisen logiikan päättelymenetelmät esimerkiksi ovat matematiikan ja matemaatikkojen työvälineitä. Yrjönsuuri käsittelee artikkelissaan Geometrinen analyysi ja Descartesin metodi mielenkiintoisesti analyysin ja ajattelun metodeja sekä Hintikan ja Remeksen tulkintoja niistä. Antiikin geometrian ongelmia ratkaistiin heidän mukaansa rakentamalla ja katselemalla, konstruktioihin ja intuitioihin nojautuen. Keskeisessä roolissa Descartesilla ovat mallipiirrokset, joihin eivät sisälly vain annetut alkuehdot ja todistettava teoreema, vaan myös apupiirrokset, joiden keksimiselle ei voi antaa mekaanisia sääntöjä, vaan niissä heijastuu olennaisesti päättelyn luova elementti. Luovan matemaatikon kekseliäisyyttä tarvitaan artikkelin esimerkissä ratkaisumenetelmän eli apupiirrosten tekemisessä ja yhtälöiden muodostamisessa, joilla ongelma ratkaistaan mekaanisesti algebrallisia menetelmiä käyttäen. Descartes myös esittää, että geometrisiä ongelmia voidaan ratkaista useita eri reittejä. Descartes käytti matemaattista ajattelumallia myös muuhun tieteelliseen päättelyyn ja tutkimiseen. Yrjönsuuri katsoo, että Descartes ymmärsi analyysin menetelmän sellaisena, jolle ei voida antaa mekaanisia sääntöjä. Tässähän juuri luovuus kumpuaa. Descartes oli myös sitä mieltä, että pätevässä päättelyssä on kyettävä tuottamaan uutta tietoa eikä vain nojautumaan valmiisiin premisseihin. Tämä johtuu Yrjönsuuren mukaan siitä, että Descartes ajatteli päättelyä enemmän matemaattisen mallin mukaan kuin perinteisen syllogismin mukaan ja toisaalta hänen päättelyssään näkyy päättelysuhteen relevanssi (josta puhuttiin myös logiikka 2 –luennoilla). Tällöin premissien ja johtopäätöksen välille syntyy vahvempi yhteys kuin pelkkä totuuden säilyttävyys. Mielen intuitiolla edetään luovasti kohti johtopäätöstä kiinnittämällä huomiota myös seuraavuuteen itseensä. Yrjönsuuri käsittelee kirjoituksensa loppupuolella ”Cogito, ergo sum” –oivallusta jonka ydin on siinä, miten oma ajattelu havaitaan siten, ettei sitä voida epäillä ja toisaalta miten deduktiivinen siirtymä omaan olemassaoloon on yhtä epäilyksetön. Tässä kyse ei ole vetoamisesta loogiseen sääntöön, vaan sen sijaan seuraavuuden käsittämisestä selvällä ja tarkalla intuitiolla.(Yrjönsuuri 2009, 118, 121 – 124, 128).

Yhteenvetoa lauselogiikasta ja logiikan filosofiasta

Logiikan filosofian näkökulma on Pajusen mukaan sen taustalla oleva idea. Erilaisista logiikoista saadaan erilaisia ideoita. Esimerkiksi lauselogiikan ideana on tarkastella lauseiden välisiä suhteita. Lauselogiikan päättelysäännöt ovat Pajusen mukaan käytössä kaikessa arkipäiväisessä ja tieteellisessä argumentaatiossa. Voiko keskeisempää roolia olla kuin logiikalla tällöin on? Logiikan käytön idea argumentaation tutkimuksessa on se, että luonnollisen kielen väittämät käännetään formaalille kielelle, jossa sitten tarkastellaan formaalein menetelmin päätelmämuotoja. Logiikan teoriassa tarkastellaan päätelmien pätevyyttä, mikä on myös tärkeä argumenttienkin ominaisuus. Lauselogiikan eräs ongelma on sen riittämättömyys tavoittaa kaikkia luonnollisen kielen ilmiöitä. Predikaattilogiikka laajentaa sen alaa, koska sen kieleen sisältyy asioiden ja niiden ominaisuuksien tai suhteiden ilmaisemiseen tarvittava sanasto. (Pajunen 2006, Pajunen 2008).

Klassisen logiikan ominaisuuksia ovat mm. kaksiarvoisuus, joka tarkoittaa, että on kaksi totuusarvoa, tosi ja epätosi. Ei-klassillisissa logiikoissa voi olla enemmän totuusarvoja. Kolmannen poissuljetun laki: Ei ole muuta kuin kaksi totuusarvoa. Ristiriidan lain mukaan mikään lause ei voi saada totuusarvoa ”tosi ja epätosi”. Kuitenkin voi olla poissuljettuja lauseita, esimerkiksi totuusarvoja enemmän tai tyhjiä totuusarvoja. Joskus ei totuusarvoa voi ollakaan, esimerkiksi lause ”tässä salissa on leppoisa ilmapiiri”. Lause ei sisällä väitettä, vaan enemmänkin tunnehuudahduksen; tällaisella lauseella ei ole yksiselitteisesti vain yhtä totuusarvoa. Negaatio määritellään klassisessa logiikassa …….ei ole niin, että ei A – voidaan päätellä A. Ei ole pakko ajatella negaatiota tässä mielessä, vrt. intuitionistinen logiikka – epäsuora todistus ei ole pätevä. Todistaminen sinänsä on logiikan filosofinen kysymys. Päättelyn monotonisuus tarkoittaa sitä, että pätevä päättely ei voi muuttua epäpäteväksi edes uuden informaation valossa. Se pysyy pätevänä riippumatta siitä, mitä lisäpremissejä lisätään. Idempotent – piirre tarkoittaa informaation lisäämistä; vaikka toistaa samaa argumenttia, konkluusio ei muutu; esim. oikeussali – vastapuoli heikoilla, jos toistaa vain samaa. (Pajunen 2008).

Logiikan argumentaatioteorian ytimenä on rationaalisuus. Kommunitatitiivisuus – merkitys ja totuusarvo   pysyvät samana, vaihdantalaki pätee. Lauseilla voi olla merkitysero, konnektiivit eivät ole samoja kuin arkikielessä. Jos konnektiivit vaihdetaan, se vaikuttaa koko logiikan järjestelmään. Totuusfunktionaalisuus lauselogiikassa tarkoittaa sitä, että koko lauseen totuusarvo riippuu yksittäisten atomilauseiden totuusarvoista (funktio). Jokaisella lauseella on oltava jompikumpi totuusarvo. Kielen lauseista voidaan laskea totuusarvo. Totuusfunktionaalisuudesta pidetään kiinni, koska se mahdollistaa mekaanisen käsittelyn. (Pajunen 2008).

Ahti-Veikko Pietarinen tarkastelee artikkelissaan Logiikka matematiikassa ja filosofiassa Hintikan tapaan myös logiikan filosofiaa. Ensimmäiseksi Pietarinen esittää, että pelkästään formaalinen logiikka – aksiomaattiset totuudet ja deduktiiviset  päättelyt – rajaa ulkopuolelleen loogisten järjestelmien ja teorioiden ominaisuuksia koskevat tulokset ja vertailut. Tällainen logiikka ei hänen mukaansa sovi tieteellisen päättelyn kieleksi. Formaalisuus tarkoittaa muotoa sisällön kustannuksella, mikä ajattelussa tarkoittaa sisältököyhyyttä. Nykyinen formaali logiikka määritellään toisella tavalla, nimittäin niin että siinä määritellään jokin kieli muodostussääntöjen avulla. Formaalia on myös päättelyn tutkiminen formaaleissa järjestelmissä. Logiikan painopistealueet ovat siirtyneet syntaksista semantiikkaan ja malliteoriaan. (Pietarinen 2009, 20 – 21).

Logiikan filosofiassa korostuu Hintikan mukaan myös logiikan normatiivinen luonne, jonka mukaan logiikan tehtävänä ei ole kertoa, kuinka ihmiset päättelevät, vaan kuinka heidän tulisi ajatella. Toisaalta normatiivisuuteen kuuluu logiikan kuvaileva (deskriptiivinen) tehtävä ja edustuksellinen tehtävä. Normatiivisuus logiikassa perustuu sellaisiin sääntöihin, jotka ovat logiikan deskriptiivisen funktion kanssa yhtäläisiä.  (Pietarinen 2009, 22 – 23).

Hintikan tutkimuksia luonnehtiva päälinja on logiikan metodinen tehtävä filosofiassa. Logiikalla ei ilmaista filosofista ajattelua suoraan, vaan sen avulla etsitään hedelmällisiä näkökulmia filosofisiin ongelmiin. Hintikka on nimittänyt logiikan metodisuutta myös kalkyyliksi tai kalkyloimiseksi. Hintikka kuitenkin puolustaa eräänlaista logisismia, kun hän haluaa palauttaa matematiikan filosofian kysymykseen matemaattisten väitelauseiden ilmaisemisesta loogisin käsittein. Pietarinen pitää itsekin näitä ajatuksia hyvinä, koska matematiikan filosofian tulee olla avuksi ja hyödyksi tieteelle.  (Pietarinen 2009, 24 – 25).

Lopuksi

Logiikka on siis pohjimmiltaan ajattelua, ajattelemista, ajattelun tutkimusta, ajattelun tutkimista. Mistä ajatukset muodostuvat? Sanat ja lauseet kuvaavat ajatuksia puheessa ja kirjoituksessa. Mutta aina ei tahdo saada puettua ajatuksia sanoiksi. Entäpä vilkas ihminen, joka puhuu koko ajan, eikä kerkeä yhtään ajatella, kun on jo sanonut? Tällöin voidaan ehkä sanoa, että ajattelu ja puhuminen tapahtuvat samanaikaisesti.

Keskustelin logiikasta erään työtoverini kanssa, joka oli tutustunut Aristoteleen kirjoituksiin. Keskustelussamme päädyimme siihen, että kieli ilmentää ajattelua. Työtoverilleni logiikka tuo kieleen ja ajatteluun turvallisuutta ja varmuutta. Loogisuus ajattelussa on hänelle etenemistä tiettyjä portaita pitkin. Jos ajattelussa ei olisi loogisuutta, miten asiaa tulkittaisiin? Ajattelun loogisuus on hänelle varmuutta ajatella. Ehkä tämä on ymmärrettävissä kontekstistamme käsin. Verohallinnossa työssämme on useimmiten kyse oikeudellisesta päättelystä. Yritykset haluavat tietää esimerkiksi, mikä on oikea verolain tulkinta heidän tapauksessaan. Yrityksen edustaja selittää liiketapahtuman tosiasiat, faktat ja haluaa tietää esimerkiksi, onko myynti verollinen vai veroton taikka onko osto vähennyskelpoinen vai ei esitetyillä taustatiedoilla. Premisseinä päättelyssä tällöin ovat liiketapahtuman olennaiset tosiseikat ja verolain siihen soveltuvat pykälät. Näiden perusteella on vedettävä johtopäätös eli vastattava asiakkaan kysymykseen – esim. luovutus on verollista myyntiä x §:n mukaan. Tosiseikkojen moninaisuus voi hämmentää päätöksentekoa, samoin voidaan joutua miettimään, mikä on tapaukseen sovellettava pykälä tai pykälät. Tällaisessa päättelyssä logiikan teoriat pätevästä päättelystä ja oikeanlaisesta argumentoinnista auttavat johtopäätösten hakemisessa. On mielenkiintoista huomata, että kun tiettyä tapausta lähtee ”purkamaan” ja erittelemään, mistä siinä on kyse, huomaa, että tapauksen analysoinnissa on filosofisen käsiteanalyysin piirteitä. Myös on erittäin tarpeellista keskustella ja pohtia tapauksia yhdessä työtovereiden kesken, koska näin voi saada itselleen uusia näkökulmia asiaan. Niinpä olisi myös filosofian eri alueiden opiskelussa hyvää ja tarpeellista yhteinen keskustelu.

Lähteet:

• Aristoteles I.
  • Ensimmäinen analytiikka – Suomentanut ja selityksen laatinut Simo Knuuttila
  • Toinen analytiikka – Suomentanut ja selityksen laatinut Juha Sihvola
• Aristoteleen teosten suomennostyön toimikunta Simo Knuuttila, Ilkka Niiniluoto, Holger Thesleff. Gaudeamus. Gummerus Kirjapaino Oy. Jyväskylä 1994.
• Britannica Concise Encyclopedia (2017). Encyclopaedia Britannica. Luettu 2017 hakusanalla Logos.
• Carnap, Rudolf (1993) Filosofisten ongelmien luonne. Teoksessa Ajatukset – Uuden ajan filosofian lukemisto, 180 – 187. Alkuperäinen teksti on vuodelta 1934. Toim. Pekka Elo & Toivo Salonen. Helsingin yliopisto. Lahden tutkimus- ja koulutuskeskus Oppimateriaaleja 17.
• Hintikka, Jaakko (1962). Huomioita kreikkalaisesta ajankäsityksestä. Ajatus – Suomen Filosofisen yhdistyksen vuosikirja XXIV 1962, 39 – 66. Jakaja Akateeminen kirjakauppa, Helsinki.
• Hintikka, Jaakko (1971). Nykyinen logiikka filosofian apuvälineenä. Teoksessa Logiikka ja matematiikka, 41 – 60. Toim. Dilemma ry ja Limes ry, Julkaisutoimikunta. WSOY.
• Hintikka, Jaakko (1982). Kieli ja mieli. Kustannusosakeyhtiö Otava.
• Knuuttila, Simo (1994). Ensimmäinen Analytiikka, selitysosa. Teoksessa Aristoteles I, 253 – 285. Gaudeamus.
• Lehti, Raimo (1971). Matemaattisen ajattelutavan kehitys. Teoksessa Logiikka ja matematiikka, 75 – 97. Toim. Dilemma ry ja Limes ry, Julkaisutoimikunta. WSOY
• Mustonen, Esko (1988). Aavistuksia sodassa 1939 – 1944. Selittämättömiä tapauksia tulilinjoilla ja kotirintamalla. WSOY.
• Niiniluoto, Ilkka (1983). Tieteellinen päättely ja selittäminen. Kustannusosakeyhtiö Otava.
• Niiniluoto, Ilkka (2009). Todennäköisyys, induktio ja informaatio. Teoksessa Ajattelun välineet ja maailmat – Kirjoituksia Jaakko Hintikan filosofiasta, 19 – 28. Toim. Manninen, Juha & Risto Vilkko. Gaudeamus.
• Niiniluoto, Ilkka & Heikki J. Koskinen (toim.) (2002). Wienin piiri. Gaudeamus.
• Pajunen, John (2006). Logiikka I luennot. Lapin yliopisto. Kevät ja kesä 2006.
• Pajunen, John (2008). Logiikka II luennot. Lapin yliopisto. Kevät 2008.
• Pietarinen, Ahti-Veikko (2009). Logiikka matematiikassa ja filosofiassa Hintikan tapaan. Teoksessa Ajattelun välineet ja maailmat – Kirjoituksia Jaakko Hintikan filosofiasta, 19 – 28. Toim. Manninen, Juha & Risto Vilkko. Gaudeamus.
• Puolitaival, Kimmo (2009). Alussa oli sana. Lehdessä Siionin Joulu, 6 – 7. Suomen Rauhanyhdistysten Keskusyhdistys ry. Oulu.
• Raatikainen, Panu (2007). Logiikka ja ajattelun rajat. Teoksessa Rajalla Tiede rajojaan etsimässä, 45 – 55. Toim. Kari Raivio, Jan Rydman & Anssi Sinnemäki. Gaudeamus.
• Raatikainen, Panu (2008). Ajattelu, kieli ja merkitys – näkökulmia nykyajan filosofian avainteemoihin. Teoksessa Ajattelu, kieli, merkitys – Analyyttisen filosofian avainkirjoituksia, 9 – 40.Toim. Panu Raatikainen. Gaudeamus.
• Salminen, Hannele & Jouko Väänänen (1992). Johdatus logiikkaan. Oy Gaudeamus Ab.
• Salonen, Toivo (2008). Filosofian sanat ja konseptit. Sanakirja. Lapin yliopistokustannus.
• Sandu, Gabriel (2009). Totuus, pelit ja universalismi. Teoksessa Ajattelun välineet ja maailmat – Kirjoituksia Jaakko Hintikan filosofiasta, 156 – 176. Toim. Manninen, Juha & Risto Vilkko. Gaudeamus.
• Sarsila, Juhani (2009). Efeson Herakleitos: Filosofian komeus ja kurjuus. Teoksessa Ajattele – jos uskallat, 42 – 67. Filosofi Toivo Salosen 60-vuotisjuhlakirja. Lapin Yliopistokustannus.
• Seppänen, Jouko (1994). Logiikan oppihistoriaa ja käsitteitä. Aristoteleen syllogiikasta luovaan ajatteluun. Teknillinen korkeakoulu Tietotekniikan osasto. Sarja Tieteen historia ja filosofia – Filosofian historia.
• Sihvola, Juha (1994). Toinen analytiikka, selitysosa. Teoksessa Aristoteles I, 286 – 317. Gaudeamus.
• Von Wright, Georg Henrik (1971). Katsaus logiikan kehitykseen. Teoksessa Logiikka ja matematiikka, 9 – 39. Toim. Dilemma ry ja Limes ry, Julkaisutoimikunta. WSOY.
• Von Wright, Georg Henrik (1982). Logiikka, filosofia ja kieli. Otava.
• Von Wright, Georg Henrik (1992). Minervan pöllö. Otava.
• Yrjönsuuri, Mikko (2009). Geometrinen analyysi ja Descartesin metodi. Teoksessa Ajattelun välineet ja maailmat – Kirjoituksia Jaakko Hintikan filosofiasta, 117 – 129. Toim. Manninen, Juha & Risto Vilkko. Gaudeamus.